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Capitolo 36: Matematica 3D: cenni.

 

PUNTI, VERTICI

Partiamo dall'elemento fondamentale: il punto.

In un universo virtuale 3D, un punto viene indicato con tre valori, uno per ciascun asse: P(XP , YP, ZP ).

Ricordiamoci che, in Java 3D, il sistema di riferimento vede l'asse Y come 'verticale' e l'asse Z positivo quando uscente dallo schermo.

Matematica 3D Punto

 

 

 

PIANI

Dal punto si passa al piano: per un punto nello spazio 3D passano infiniti piani, mentre per tre punti non allineati passa un solo piano.

Per trovare la formula cartesiana di tale piano, risolvere (annullarne il determinante) la seguente matrice:

Matematica 3D Matrice Piano

 

 

 

Matematica 3D Piano

 

RETTE

Nello spazio tridimensionale, una retta è identificata dall'intersezione di due piani, dunque da un sistema di due equazioni:

Matematica 3D Retta

 

VETTORI

In computer grafica 3D, la stessa tripla (x, y, z) che può identificare un punto può identificare un vettore: un vettore tridimensionale.

Identifichiamo un vettore con una lettera maiuscola:

 

V = (VX, VY , VZ).

 

Un vettore è caratterizzato da direzione e modulo.

Utilizzeremo i vettori per scopi diversi, come effettuare traslazioni o definire la direzione di una sorgente luminosa o sonora.

Di fondamentale importanza è la regola della somma vettoriale:

 

U + V = (UX + VX, UY + VY , UZ + VZ).

 

Osservare come la somma di due vettori possa dare origine ad un terzo vettore diverso sia in direzione che in modulo ai due vettori originali.

Il modulo di un vettore è così definito:

Matematica modulo di un vettore

 

Moltiplicando un vettore per uno scalare, modifichiamo il modulo del vettore senza modificare la direzione:

 

s · V = (s · VX, s · VY , s · VZ).

 

 

TRIGONOMETRIA

Infine, un piccolo richiamo delle formule trigonometriche classiche, definite nel 2D ma che, 'composte', possono essere utilizzate per fare calcoli nel 3D.

 

  • Un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.

  • Un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente.

  • Un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto.

  • Un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente.

 

 
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